درسنامه معادله درجه دوم
تذکر: اگر از یادگیری این مبحث اطمینان دارید، برای حل تمرین و بدست آوردن مهارت و سرعت عمل اینجا را کلیک کنید.
معادله ای درجه دوم است که بزرگترین توان مجهول در آن عدد 2 باشد. در زیر نمونه هائی از معادله درجه دوم را می بینیم:
-
در نمونه زیر اگر معادله جواب داشته باشد حتما دارای دو ریشه است که ممکن است مضاعف باشند
$$ x^2+2x+1=0 $$
-
در نمونه زیر معادله حتما دارای دو ریشه است که یکی از آنها صفر می باشد
$$ 2x^2+x=0 $$
-
در نمونه زیر اگر معادله جواب داشته باشد حتما دارای دو ریشه قرینه است
$$ 4x^2-16=0 $$
همانطور که ملاحظه شد، ریشه های(جوابهای) معادله درجه دوم ممکن است یکی از چهار حالت زیر باشد:
- ریشه نداشته باشد
- دارای ریشه مضاعف (یکسان) باشد یعنی هر دو جواب با هم برابر خواهند بود
- دارای دو ریشه باشد
- دارای دو ریشه قرینه باشد
حالت کلی معادله درجه دوم بصورت زیر نوشته می شود:
$$ ax^2+bx+c=0 $$
که ضرایب a , b , c اعداد حقیقی هستند و حتما a مخالف صفر است چون در غیر این صورت معادله درجه دوم نخواهد بود.
نکته 1: برای حل معادله درجه دوم، ابتدا در صورتیکه ضرایب آن دارای مضرب مشترک باشند بهتر است آنها را ساده کرد.مثال 1:
$$ 3x^2+6x-9=0 $$
که ساده شده آن عبارتست از:
$$ x^2+2x-3=0 $$
نکته 2: قبل از حل معادله درجه دوم لازم است آن را بر حسب توان نزولی مجهول، مرتب کنیم. مثال:
$$ x-2x^2=3 $$
که مرتب شده آن خواهد بود:
$$ -2x^2+x-3=0 $$
روشهای حل معادله درجه دوم
الف) اگر b=0 باشد، فقط کافی است c را به طرف دیگر معادله ببریم و طرفین را به a تقسیم کنیم. اکنون بایستی از طرفین جذر بگیریم.
|
مثال 2: معادله دارای دو ریشه قرینه است
|
$$ x^2-9=0 $$
$$ x^2=9 $$
$$ x=\pm 3 $$
|
|
مثال 3: معادله ریشه حقیقی ندارد
|
$$ x^2+9=0 $$
$$ x^2=-9 $$
|
ب) اگر c=0 باشد. خیلی راحت از یک مجهول فاکتور می گیریم که یک از ریشه ها صفر و دیگری b/a- خواهد بود.
|
مثال 4:
|
$$ 2x^2+3x=0 $$
$$ x\left(2x+3\right)=0 $$
$$ x=0 $$
$$ 2x+3=0 $$
$$ 2x=-3 $$
$$ x=-\frac{3}{2} $$
|
ج) اگر ضرایب صفر نباشند می توانیم از سه روش برای پیدا کردن ریشه ها استفاده کنیم:
مثال 5: روشهای مختلف حل معادله
روش اول: تجزیه (به شرط داشتن مهارت کافی)
$$ 4x^2+4x-3=0 $$
$$ \left(2x-1\right)\left(2x+3\right)=0 $$
$$ 2x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2} $$
$$ 2x+3=0\Rightarrow x=-\frac{3}{2} $$
روش دوم: استفاده از مربع کامل
$$ 4x^2+4x-3=0 $$
$$ \left(4x^2+4x+1\right)-4=0 $$
$$ \left(2x+1\right)^2-4=0 $$
$$ \left(2x+1\right)^2=4 $$
$$ 2x+1=\pm2 $$
$$ 2x+1=+2\Rightarrow x=\frac{1}{2} $$
$$ 2x+1=-2\Rightarrow x=-\frac{3}{2} $$
روش سوم: دلتا گیری
$$ 4x^2+4x-3=0 $$
$$ a=4,b=4,c=-3 $$
$$ \Delta=b^2-4ac=4^2-4\times (4)\times (-3)=64 $$
$$ x={{-b\pm\sqrt{\Delta}}\over{2a}}={{-4\pm\sqrt{64}}\over{2\times 4}}={{-4\pm 8}\over{8}} $$
$$ x_1={1\over 2} \;\;,\;\; x_2={-3\over 2}$$
نکته 3: اگر دلتا کوچکتر از صفر باشد پس جذر آن در مجموعه اعداد حقیقی معنی ندارد و در نتیجه معادله ریشه حقیقی ندارد. مثال 6:
$$ x^2+x+3=0 $$
$$ \Delta=1^2-4\left(1\right)\left(3\right)=-11 $$
نکته 4: اگر مجموع ضرایب صفر باشند یعنی a + b + c = 0 آنگاه یکی از ریشه های معادله 1 است و این موضوع برای معادلات با هر درجه ای صادق است.مثال 7:
$$ 2x^2+x-3=0 $$
$$ 2(1)^2+1-3=0 $$
نکته 5: اگر داشته باشیم a + c = b آنگاه یکی از ریشه ها 1- است و ریشه دیگر c/a- خواهد بود. مثال 8:
$$ 2x^2+3x+1=0 $$
$$ 2+1=3 $$
$$ x_1=-1 \;\;\;,\;\;\; x_2=-{{1}\over{2}} $$
توجه: درصورتیکه با مبحث سهمی آشنا باشیم میتوانیم از روش جئوجبرا نیز معادلات درجه دوم را حل کنیم که یادگیری این روش برای پایه دهم هنرستان الزامی است.
اکنون برای حل تمرینات این مبحث اینجا را کلیک کنید.
مطالب مرتبط:
-
ریاضی 1: سهمی
-
ریاضی 1: حل نامعادله درجه دوم
-
ریاضی 2 و حسابان 1: صفرهای تابع درجه دوم
-
ریاضی 2 و حسابان 1: روابط بین ریشه های معادله درجه دوم
-
ریاضی 2 و حسابان 1: روش تغیر متغیر برای حل معادله درجه دوم
تهیه شده در واحد تدوین آموزشگاه سپهر دانش پژوهان کیش
